2024-12-31 Q1(m=6)

Rearrange the digits in ⟨1263045⟩ to meet the rules below.

⟨6th 5th 4th 3rd 2nd 1st 0th⟩

✅Match

⟨⋯ 1 ⋯ 3 ⋯ 4 ⋯ 6 ⋯⟩

⟨⋯ 0 ⋯ 2 ⋯ 6 ⋯ 5 ⋯⟩

min {p3, p2} = 0

#125034_v2.8

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │6th│5th│4th│3rd│2nd│1st│0th│▒
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡▒
Step 1 │   │   │   │ 0 │   │   │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 2 │   │   │   │ 0 │ 2 │   │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 3 │   │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 4 │   │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 5 │ 1 │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 6 │ 1 │ 3 │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 7 │ 1 │ 3 │ 4 │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘▒
        ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒

Proof of 2024-12-31 Q1(m=6)
═══════════════════════════

Notation: if nth -> a, then we write [nth] = a.

By ✅「min {p3, p2} = 0」, we have 0 ∈ {[3rd], [2nd]}. Since ✅「⟨⋯ 0 ⋯ 2 ⋯ 6 ⋯ 5 ⋯⟩」 implies that there are at least three digits to the right of 0, we have 0 = [3rd]:

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │6th│5th│4th│ 3■│2nd│1st│0th│▒
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡▒
Step 1 │   │   │   │ 0 │   │   │   │▒
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘▒
        ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 1 │ 2 │ 6 │ 3 │   │ 4 │ 5 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Then, by ✅「⟨⋯ 0 ⋯ 2 ⋯ 6 ⋯ 5 ⋯⟩」, we get

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │6th│5th│4th│3rd│ 2■│ 1■│ 0■│▒
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡▒
       │   │   │   │ 0 │   │   │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 2 │   │   │   │ 0 │ 2 │   │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 3 │   │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │   │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 4 │   │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘▒
        ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 1 │   │   │ 3 │   │ 4 │   │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Finally, by ✅「⟨⋯ 1 ⋯ 3 ⋯ 4 ⋯ 6 ⋯⟩」, we get

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6■│ 5■│ 4■│3rd│2nd│1st│0th│▒
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡▒
       │   │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 5 │ 1 │   │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 6 │ 1 │ 3 │   │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤▒
Step 7 │ 1 │ 3 │ 4 │ 0 │ 2 │ 6 │ 5 │▒
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘▒
        ▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│   │   │   │   │   │   │   │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Q.E.D.

#125034_v2.8