Rearrange the digits in ⟨1263045⟩ to meet the rules below.
⟨6th 5th 4th 3rd 2nd 1st 0th⟩
✅Match
⟨ ⁵ᵗʰc ³ʳᵈa ²ⁿᵈd ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d
⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)
5th → a, 3rd → b, |a-b|=5
#125034_v2.0
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │ 5 │ 4 │ 3 │ 2 │ 1 │ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
Step 1 │ │ │ │ 6 │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 2 │ │ 1 │ │ 6 │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 3 │ │ 1 │ │ 6 │ 0 │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 4 │ │ 1 │ │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 5 │ │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 6 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 7 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ 4 │ 3 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
Proof of 2023-10-09 Q1(m=6)
═══════════════════════════
Notation: if nth -> a, then we write [nth] = a.
By ✅「5th → a, 3rd → b, |a-b|=5」, we have
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │*5 │ 4 │*3 │ 2 │ 1 │ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
│ │ x │ │ y │ │ │ │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
where {x,y} = {6,1} or {5,0}. By ✅「⟨ ⁵ᵗʰc ³ʳᵈa ²ⁿᵈd ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d」, [3rd] cannot be 1 or 0, and [5th] cannot be 0. Therefore, (x,y)=(1,6):
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │ 5■│ 4 │ 3■│ 2 │ 1 │ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
Step 1 │ │ │ │ 6 │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 2 │ │ 1 │ │ 6 │ │ │ │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ │ 2 │ │ 3 │ 0 │ 4 │ 5 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
In view of ✅「⟨ ⁵ᵗʰc ³ʳᵈa ²ⁿᵈd ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d」, we need [2nd] < [5th] = 1, so [2nd] = 0.
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │ 5 │ 4 │ 3 │ 2■│ 1 │ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
│ │ 1 │ │ 6 │ │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 3 │ │ 1 │ │ 6 │ 0 │ │ │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ │ 2 │ │ 3 │ │ 4 │ 5 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
Next, we consider the value of [0th]. By ✅「⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)」, we see that [0th] = 3|2. As this pattern implies that 2 != [0th], we have [0th] = 3. Accordingly, the "?" in this pattern is 5.
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │ 5 │ 4■│ 3 │ 2 │ 1 │ 0■│
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
│ │ 1 │ │ 6 │ 0 │ │ │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 4 │ │ 1 │ │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 5 │ │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ │ 3 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ │ 2 │ │ │ │ 4 │ │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
Finally, as ✅「⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)」 implies that 2 is at the left of 6, we finish by
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6■│ 5 │ 4 │ 3 │ 2 │ 1■│ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
│ │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 6 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ │ 3 │
├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 7 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ 4 │ 3 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘
Q.E.D.
#125034_v2.0