Q1(m=6) 2023-10-09

Rearrange the digits in ⟨1263045⟩ to meet the rules below.

⟨6th 5th 4th 3rd 2nd 1st 0th⟩

✅Match

⟨   ⁵ᵗʰc   ³ʳᵈa ²ⁿᵈd   ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d

⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)

5th → a, 3rd → b, |a-b|=5

#125034_v2.0

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6 │ 5 │ 4 │ 3 │ 2 │ 1 │ 0 │
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
Step 1 │   │   │   │ 6 │   │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 2 │   │ 1 │   │ 6 │   │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 3 │   │ 1 │   │ 6 │ 0 │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 4 │   │ 1 │   │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 5 │   │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 6 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 7 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ 4 │ 3 │
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Proof of 2023-10-09 Q1(m=6)
═══════════════════════════

Notation: if nth -> a, then we write [nth] = a.

By ✅「5th → a, 3rd → b, |a-b|=5」, we have

┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│ 6 │*5 │ 4 │*3 │ 2 │ 1 │ 0 │
╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
│   │ x │   │ y │   │   │   │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

where {x,y} = {6,1} or {5,0}. By ✅「⟨   ⁵ᵗʰc   ³ʳᵈa ²ⁿᵈd   ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d」, [3rd] cannot be 1 or 0, and [5th] cannot be 0. Therefore, (x,y)=(1,6):

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6 │ 5■│ 4 │ 3■│ 2 │ 1 │ 0 │
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
Step 1 │   │   │   │ 6 │   │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 2 │   │ 1 │   │ 6 │   │   │   │
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│   │ 2 │   │ 3 │ 0 │ 4 │ 5 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

In view of ✅「⟨   ⁵ᵗʰc   ³ʳᵈa ²ⁿᵈd   ⁰ᵗʰb ⟩, a > b > c > d」, we need [2nd] < [5th] = 1, so [2nd] = 0.

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6 │ 5 │ 4 │ 3 │ 2■│ 1 │ 0 │
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
       │   │ 1 │   │ 6 │   │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 3 │   │ 1 │   │ 6 │ 0 │   │   │
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│   │ 2 │   │ 3 │   │ 4 │ 5 │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Next, we consider the value of [0th]. By ✅「⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)」, we see that [0th] = 3|2. As this pattern implies that 2 != [0th], we have [0th] = 3. Accordingly, the "?" in this pattern is 5.

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6 │ 5 │ 4■│ 3 │ 2 │ 1 │ 0■│
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
       │   │ 1 │   │ 6 │ 0 │   │   │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 4 │   │ 1 │   │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 5 │   │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

--- Idle ---
┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
│   │ 2 │   │   │   │ 4 │   │
└───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Finally, as ✅「⟨⋯ 2 ⋯ ? 6 ⋯ (?−2)⟩ (?≠6)」 implies that 2 is at the left of 6, we finish by

       ┌───┬───┬───┬───┬───┬───┬───┐
       │ 6■│ 5 │ 4 │ 3 │ 2 │ 1■│ 0 │
       ╞═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╪═══╡
       │   │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 6 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │   │ 3 │
       ├───┼───┼───┼───┼───┼───┼───┤
Step 7 │ 2 │ 1 │ 5 │ 6 │ 0 │ 4 │ 3 │
       └───┴───┴───┴───┴───┴───┴───┘

Q.E.D.

#125034_v2.0